Kaj je normalno-distribucijska log?
Log-normalna porazdelitev je neprekinjena porazdelitev naključnih spremenljivk, katerih logaritmi so normalno porazdeljeni. Z drugimi besedami, lognormalno porazdelitev generira funkcija e x , kjer naj bi bila x (naključna spremenljivka) normalno porazdeljena. V naravnem logaritmu e x je x, logaritmi lognormalno porazdeljenih naključnih spremenljivk so običajno porazdeljeni.
Spremenljivka X je običajno porazdeljena, če je Y = ln (X), kjer je ln naravni logaritem.
- Y = e x
- Predpostavimo naravni logaritem na obeh straneh.
- lnY = ln e x, kar ima za posledico lnY = x
Zato lahko rečemo, če ima X naključno spremenljivko normalno porazdelitev, potem ima Y lognormalno porazdelitev.
Formula normalne porazdelitve dnevnika
Formula za funkcijo gostote verjetnosti lognormalne porazdelitve je določena s srednjo vrednostjo μ in standardnim odklonom σ, ki je označen z:
Parametri log-normalne distribucije
Za log-normalno porazdelitev so značilni naslednji trije parametri:
- σ , standardni odklon dnevnika porazdelitve, ki ga imenujemo tudi parameter oblike. Parameter oblike na splošno vpliva na splošno obliko lognormalne porazdelitve, vendar ne vpliva na lokacijo in višino grafa.
- m , mediana porazdelitve, znana tudi kot parameter skale.
- Θ , lokacijski parameter, ki se uporablja za iskanje grafa na osi x.
Srednja vrednost in standardni odklon sta dva glavna parametra lognormalne porazdelitve in sta ta dva parametra izrecno opredeljena.
Naslednja slika prikazuje normalno distribucijo in log-normalno distribucijo.
Iz zgornje slike lahko opazimo naslednje značilnosti log-normalne distribucije.
- Log-normalne porazdelitve so zaradi nižjih srednjih vrednosti in večje variance naključnih spremenljivk pozitivno nagnjene v desno.
- Lognormalna porazdelitev je od spodaj vedno omejena z 0, saj pomaga pri modeliranju cen sredstev, ki naj ne bi imele negativnih vrednosti.
- Lognormalna porazdelitev je pozitivno poravnana z velikim številom majhnih vrednosti in vključuje nekaj glavnih vrednosti, zaradi česar je povprečje zelo pogosto večje od načina.
Iz zgornje slike lahko opazimo, da je logaritemska normalna porazdelitev omejena na 0 in je pozitivno nagnjena v desno, kar bi lahko opazili po dolgem repu proti desni. Ti dve ugotovitvi se štejeta za glavni lastnosti lognormalnih porazdelitev. V praksi so se lognormalne razdelitve izkazale za zelo koristne pri razdelitvi cen lastniškega kapitala ali sredstev, običajna razdelitev pa je zelo koristna pri oceni pričakovanih donosov sredstva v določenem časovnem obdobju.
Primeri log-normalne distribucije
Sledi nekaj primerov, v katerih je mogoče uporabiti običajne distribucije v dnevniku:
- Količina plina v zalogi energije in nafte.
- Obseg proizvodnje mleka.
- Količina padavin.
- Potencialno življenje proizvodnih in industrijskih enot, katerih možnosti za preživetje so značilne zaradi stopnje stresa.
- Obseg obdobij, v katerih obstaja katera koli nalezljiva bolezen.
Uporaba in uporaba log-normalne distribucije
Sledijo aplikacije in uporabe logično običajne distribucije.
- Najpogosteje uporabljena in priljubljena distribucija je običajna distribucija, ki je običajno porazdeljena in simetrična ter tvori zvončasto krivuljo, ki je oblikovala različne naravne od preprostih do zelo zapletenih.
- Vendar obstajajo primeri, ko se običajna distribucija sooča z omejitvami, pri katerih je mogoče enostavno uporabiti lognormalno distribucijo. Normalna porazdelitev lahko upošteva negativno naključno spremenljivko, toda lognormalna razporeditev predvideva le pozitivne naključne spremenljivke.
- Ena izmed različnih aplikacij, kjer se lognormalna porazdelitev uporablja v financah, kjer se uporablja pri analizi cen sredstev. Pričakovana donosnost sredstev je prikazana v običajni porazdelitvi, cene sredstev pa so prikazane v logični razporeditvi.
- S pomočjo lognormalne krivulje porazdelitve lahko enostavno izračunamo sestavljeno stopnjo donosa sredstev v določenem časovnem obdobju.
- V primeru, da smo za izračun cen sredstev v določenem časovnem obdobju uporabili normalno porazdelitev, obstajajo možnosti za donose manjše od -100%, kar nato predpostavlja cene sredstev, nižje od 0. Če pa za oceno spojine uporabimo lognormalno porazdelitev stopnjo donosa v določenem časovnem obdobju lahko zlahka preženemo situacijo, ko dobimo negativne donose, saj lognormalna porazdelitev upošteva le pozitivne naključne spremenljivke.
- Relativna cena je cena sredstva na koncu obdobja, deljena z začetno ceno sredstva, ki je enaka 1 plus donosnost obdobja imetja. Če želimo najti konec sredstva v obdobju, ga lahko dobimo tako, da ga pomnožimo z relativno ceno, pomnoženo z začetno ceno sredstva. Lognormalna porazdelitev ima samo pozitivno vrednost; zato cena sredstva na koncu obdobja ne sme biti nižja od 0.
Log-normalna porazdelitev pri modeliranju cen lastniških delnic
Log-normalna porazdelitev je bila uporabljena za modeliranje verjetnostne porazdelitve zalog in številnih drugih cen sredstev. Na primer, opazili smo, da se lognormal pojavlja v modelu določanja cen opcije Black-Scholes-Merton, kjer obstaja predpostavka, da se cena osnovne finančne naložbe istočasno logično razdeli.
Zaključek
- Normalna porazdelitev je verjetnostna porazdelitev, ki naj bi bila asimetrična in zvončasta krivulja. Pri normalni porazdelitvi 69% izida sodi v en standardni odklon, 95% pa v dva standardna odklona.
- Zaradi priljubljenosti običajne distribucije večina ljudi pozna koncept in uporabo običajne distribucije, vendar se takrat zdi, da koncepta lognormalne distribucije ne poznajo enako. Normalno porazdelitev je mogoče pretvoriti v lognormalno porazdelitev s pomočjo logaritmov, kar postane temeljna osnova, saj lognormalne porazdelitve upoštevajo edino naključno spremenljivko, ki je običajno porazdeljena.
- Lognormalne porazdelitve se lahko uporabljajo skupaj z normalno porazdelitvijo. Lognormalne porazdelitve so rezultat predpostavke ln, naravnega logaritma, pri katerem je osnova enaka e = 2,718. Poleg dane osnove bi lahko lognormalno porazdelitev uporabili tudi z drugo osnovo, ki bi pozneje vplivala na obliko lognormalne porazdelitve.
- Lognormalna porazdelitev prikazuje grafikon dnevnika normalno porazdeljenih naključnih spremenljivk iz krivulj normalne porazdelitve. Ln, naravni dnevnik je znan e, eksponent, na katerega je treba dvigniti osnovo, da dobimo želeno naključno spremenljivko x, ki jo lahko najdemo na krivulji normalne porazdelitve.
