Formula za izračun binomske porazdelitve
Formula binomne porazdelitve se uporablja za izračun verjetnosti x uspehov v n preskusih binomskega poskusa, ki so neodvisni, verjetnost pa izhaja s kombinacijo števila poskusov in števila uspehov, ki jih predstavlja nCx, pomnoženo z verjetnostjo doseženega uspeha na stopnjo števila uspehov, predstavljenih s px, ki se nadalje pomnoži z verjetnostjo neuspeha, dvignjenega na stopnjo razlike med številom uspehov in številom poskusov, ki jih predstavlja (1-p) nx.
Verjetnost x uspeha v n neodvisnih poskusih binomskega poskusa poda naslednja formula binomske porazdelitve:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
kjer je p verjetnost uspeha
V zgornji enačbi je uporabljen n C x , ki ni nič drugega kot kombinacijska formula. Formula za izračun kombinacij je podana kot n C x = n! / x! (nx)! kjer n predstavlja število predmetov (neodvisni preizkusi), x pa število elementov, ki so bili izbrani naenkrat (uspehi).
V primeru n = 1 v binomni porazdelitvi je porazdelitev znana kot Bernoullijeva porazdelitev. Srednja vrednost binomske porazdelitve je np. Variacija binomske porazdelitve je np (1-p).
Izračun binomne porazdelitve (korak za korakom)
Izračun binomske porazdelitve je mogoče izvesti z uporabo naslednjih štirih preprostih korakov:
- 1. korak: Izračunajte kombinacijo med številom poskusov in številom uspehov. Formula za n C x je tam, kjer je n! = n * (n-1) * (n-2) … * 2 * 1. Za številko n lahko faktorije n zapišemo kot n! = n * (n-1)! Na primer 5! je 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- 2. korak: Izračunajte verjetnost uspeha, dvignjeno na potenco števila uspehov, ki so p x .
- 3. korak: Izračunajte verjetnost neuspeha, dvignjeno na potenco razlike med številom uspehov in številom poskusov. Verjetnost okvare je 1-p. To se torej nanaša na pridobivanje (1-p) nx
- 4. korak: Poiščite rezultat rezultatov, dobljenih v 1., 2. in 3. koraku.
Primeri
Primer # 1
Število poskusov (n) je 10. Verjetnost uspeha (p) je 0,5. Naredite izračun binomske porazdelitve, da izračunate verjetnost, da boste dosegli natanko šest uspehov.
Rešitev:
Za izračun binomske porazdelitve uporabite naslednje podatke.
Izračun binomske porazdelitve se lahko izvede na naslednji način,
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Verjetnost, da bomo dosegli točno 6 uspehov, bo
P (x = 6) = 0,2051
Verjetnost, da boste dosegli točno 6 uspehov, je 0,2051
2. primer
Vodja zavarovalnice pregleduje podatke o zavarovalnih policah, ki jih prodajajo zavarovalni prodajalci, ki delajo pod njim. Ugotavlja, da je 80% ljudi, ki kupujejo avtomobilsko zavarovanje, moških. Ugotoviti želi, da če bi bilo naključno izbranih 8 lastnikov avtomobilskih zavarovanj, kakšna bi bila verjetnost, da je med njimi ravno 5 moških.
Rešitev: Najprej moramo ugotoviti, kaj so n, p in x.
Izračun binomske porazdelitve se lahko izvede na naslednji način,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3
= 56 * 0,32768 * 0,008
Verjetnost natanko 5 uspehov bo
P (x = 5) = 0,14680064
Verjetnost, da je točno 5 lastnikov avtomobilskih zavarovanj moških, je 0,14680064.
3. primer
Vodstvo bolnišnice je navdušeno nad uvedbo novega zdravila za zdravljenje rakavih bolnikov, saj je možnost, da se oseba z njim uspešno zdravi, zelo velika. Verjetnost, da se bolnik zdravi z zdravilom, je 0,8. Zdravilo dobi 10 bolnikov. Poiščite verjetnost, da bo 9 ali več bolnikov uspešno zdravljenih.
Rešitev: Najprej moramo ugotoviti, kaj so n, p in x.
Ugotoviti moramo verjetnost, da ga bo 9 ali več bolnikov uspešno zdravilo. Tako ga uspešno zdravi bodisi 9 bodisi 10 bolnikov
x (število, za katero morate najti verjetnost) = 9 ali x = 10
Najti moramo P (9) in P (10)
Izračun binomske porazdelitve za iskanje P (x = 9) lahko naredimo na naslednji način,
P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2) 1
= 10 * 0,134217728 * 0,2
Verjetnost 9 bolnikov bo
P (x = 9) = 0,2684
Izračun binomske porazdelitve za iskanje P (x = 10) lahko naredimo na naslednji način,
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0
= 1 * 0,107374182 * 1
Verjetnost 10 bolnikov bo
P (x = 10) = 0,1074
Zato je P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
Tako je verjetnost, da bo 9 ali več bolnikov zdravilo zdravilo, 0,375809638.
Kalkulator binomne porazdelitve
Uporabite lahko naslednji binomni kalkulator porazdelitve.
| n | |
| str | |
| x | |
| Formula binomne porazdelitve = | |
| Formula binomne porazdelitve = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Ustreznost in uporaba
- Izida sta le dva
- Verjetnost vsakega izida ostaja enaka od preskušanja do preskušanja
- Obstaja določeno število preskusov
- Vsak preizkus je neodvisen, tj. Se med seboj izključuje
- Omogoča nam frekvenčno porazdelitev možnega števila uspešnih izidov v določenem številu poskusov, pri katerih ima vsako od teh poskusov enako verjetnost uspeha.
- Vsak poskus v binomnem eksperimentu lahko privede do samo dveh možnih izidov. Zato je ime "binomno". Eden od teh rezultatov je znan kot uspeh, drugi pa kot neuspeh. Na primer, bolni ljudje se lahko odzovejo na zdravljenje ali ne.
- Podobno lahko, ko vržemo kovanec, imamo le dve vrsti rezultatov: glave ali repi. Binomna porazdelitev je diskretna porazdelitev, ki se uporablja v statistiki in se razlikuje od neprekinjene porazdelitve.
Primer binomskega poskusa je metanje kovanca, recimo trikrat. Ko obrnemo kovanec, sta možna le dva rezultata - glave in repi. Verjetnost vsakega izida je 0,5. Ker se kovanec trikrat vrže, je število poskusov določeno, to je 3. Na verjetnost vsakega žrebanja drugi žetovi ne vplivajo.
Binomna porazdelitev najde svojo uporabo v družboslovni statistiki. Uporablja se za razvoj modelov za dihotomne spremenljivke izida, kjer sta dva izida. Primer tega je, ali bi na volitvah zmagali republikanci ali demokrati.
Binomna formula porazdelitve v Excelu (z Excelovo predlogo)
Saurabh je o enačbi binomske porazdelitve izvedel v šoli. O konceptu se želi pogovoriti s sestro in z njo sklepati stave. Menil je, da bo desetkrat vrgel nepristranski kovanec. Želi staviti 100 dolarjev na to, da v 10 premetih dobi točno pet repov. Za to stavo želi izračunati verjetnost, da dobite natanko pet repov v 10 metah.
Rešitev: Najprej moramo ugotoviti, kaj so n, p in x.
Obstaja vgrajena formula za binomsko distribucijo Excel, kar je
To je BINOM.DIST (število uspehov, preizkušenj, verjetnost uspeha, FALSE).
V tem primeru binomske porazdelitve bi bilo:
= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE), kjer celica B2 predstavlja število uspehov, celica B3 predstavlja število poskusov, celica B4 pa verjetnost uspeha.
Zato bo izračun binomne porazdelitve
P (x = 5) = 0,24609375
Verjetnost, da dobite natanko 5 repov v 10 metah, je 0,24609375
Opomba: FALSE v zgornji formuli označuje funkcijo verjetnosti mase. Izračuna verjetnost, da bo iz n neodvisnih poskusov prišlo do natančno n uspehov. TRUE označuje kumulativno funkcijo porazdelitve. Izračuna verjetnost največ x uspehov iz n neodvisnih poskusov.
