Eulerjeva totientna funkcija - pomen, primeri, kako izračunati?

Kaj je Eulerjeva totientna funkcija?

Eulerjeva funkcija Totient je matematična multiplikativna funkcija, ki šteje pozitivna cela števila do danega celotnega števila, ki se na splošno imenuje 'n' in so praštevila do 'n', funkcija pa se uporablja za poznavanje števila osnovnih števil, dano celo število 'n'.

Pojasnilo

Če želite vedeti, koliko praštevil prihaja do določenega celega števila 'n', se uporablja Eulerjeva funkcija totienta. Imenuje se tudi aritmetična funkcija. Za uporabo ali uporabo Eulerjeve funkcije Totient sta pomembni dve stvari. Eno je, da bi moral biti gcd, ki je nastal iz danega celotnega števila 'n', multiplikativen med seboj, drugi pa je, da so številke gcd samo prvoštevila. Celo število 'n' bi moralo biti v tem primeru večje od 1. Iz negativnega celega števila ni mogoče izračunati Eulerjeve funkcije totienta. V tem primeru je načelo, da morajo biti množitelji, imenovani m in n, za ϕ (n) večji od 1. Zato označeno z 1

Zgodovina

Euler je to funkcijo predstavil leta 1763. Sprva je Euler za označevanje funkcije uporabljal grški π, vendar zaradi nekaterih vprašanj njegov denotacijski grški π ni dobil priznanja. In mu ni uspel dati ustreznega zapisa, tj. Φ. Zato funkcije ni mogoče uvesti. Nadalje je bil ϕ vzet iz Gaussovih Disquisitiones Arithmeticae iz leta 1801. Funkcija se imenuje tudi funkcija fi. Toda JJ Sylvester je leta 1879 zaradi lastnosti in uporabe funkcij vključil izraz totient za to funkcijo. Različna pravila so oblikovana tako, da obravnavajo različne vrste celih števil, na primer, če je celo število p prosto število, katero pravilo je treba uporabiti itd. Vsa pravila, ki jih uokvirja Euler, so izvedljiva in jih je mogoče uporabiti tudi danes, ko imamo enako.

Lastnosti Eulerjeve funkcije totienta

Obstaja nekaj različnih lastnosti. Nekatere lastnosti Eulerjeve totientne funkcije so pod:

  • Φ je simbol, ki označuje funkcijo.
  • Funkcija se ukvarja s teorijo praštevil.
  • Funkcija je uporabna samo v primeru pozitivnih celih števil.
  • Za ϕ (n) je za izračun funkcije mogoče najti dve množilni prosti številki.
  • Funkcija je matematična funkcija in je v mnogih pogledih uporabna.
  • Če je celo število 'n' prosto število, je gcd (m, n) = 1.
  • Funkcija deluje po formuli 1 <m <n, kjer sta m in n prosti števili in množilna števila.
  • Na splošno je enačba
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • Funkcija v bistvu šteje število pozitivnih celih števil, ki je manjše od danega celotnega števila, kar je relativno dano število glede na dano celo število.
  • Če je dano celo število p prosto, je ϕ (p) = p - 1
  • Če je moč p osnovna, je torej a = p n glavna moč, potem je ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) ni ena - ena
  • ϕ (n) ni vključen.
  • ϕ (n), n> 3 je vedno sodo.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Izračunaj Eulerjevo funkcijo totienta

Primer # 1

Izračunaj ϕ (7)?

Rešitev:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Ker so vsa števila praštevila 7, je bilo zato enostavno izračunati ϕ.

2. primer

Izračunaj ϕ (100)?

Rešitev:

Ker je 100 veliko število, je za izračun od 1 do 100 praštevil, ki so praštevila s 100, zamudno. Zato uporabimo spodnjo formulo:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

3. primer

Izračunaj ϕ (240)?

Večkratniki 240 so 16 * 5 * 3, tj. 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

če n M ni praštevilo, uporabimo n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Primer # 4

Izračunaj ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Aplikacije

Različne aplikacije so navedene pod:

  • Funkcija se uporablja za določanje sistema šifriranja RSA, ki se uporablja za internetno šifriranje.
  • Uporablja se v teoriji praštevil.
  • Uporablja se tudi pri velikih izračunih.
  • Uporablja se v aplikacijah osnovne teorije števil.

Zaključek

Eulerjeva totientna funkcija je v mnogih pogledih koristna. Uporablja se v sistemu šifriranja RSA, ki se uporablja za varnostne namene. Funkcija se ukvarja s teorijo praštevil in je koristna tudi pri izračunu velikih izračunov. Funkcija se uporablja tudi v algebrskih izračunih in osnovnih številih. Simbol, ki se uporablja za označevanje funkcije, je ϕ, imenuje pa se tudi funkcija phi. Funkcija je sestavljena iz bolj teoretične in ne praktične uporabe. Praktična uporaba funkcije je omejena. Funkcijo je mogoče bolje razumeti z različnimi praktičnimi primeri in ne le s teoretičnimi razlagami. Obstajajo različna pravila za izračun Eulerjeve totientne funkcije, za različna števila pa se uporabljajo drugačna pravila. Funkcija je bila prvič predstavljena leta 1763, vendar je zaradi nekaterih težavpriznanje je dobil leta 1784, ime pa je bilo spremenjeno leta 1879. Funkcija je univerzalna funkcija in se lahko uporablja povsod.

Zanimive Članki...