Opredelitev osrednjega mejnega izrek
Izrek o centralni meji navaja, da se bodo naključni vzorci naključne spremenljivke populacije s katero koli porazdelitvijo približali normalni porazdelitvi verjetnosti, ko se velikost vzorca poveča, in predvideva, da ko velikost vzorca v populaciji preseže 30, povprečna vzorca, ki bo povprečje vseh opazovanj za vzorec b enako povprečju za populacijo.
Formula teorema osrednje meje
Smo že razpravljali, da ko velikost vzorca preseže 30, ima porazdelitev obliko običajne porazdelitve. Za določitev normalne porazdelitve spremenljivke je pomembno vedeti njeno povprečje in varianco. Normalno porazdelitev lahko označimo kot
X ~ N (µ, α)
Kje
- N = število opažanj
- µ = srednja vrednost opazovanj
- α = standardni odklon
V večini primerov opažanja v surovi obliki ne razkrijejo veliko. Zato je bistveno standardizirati opazovanja, da jih lahko primerjamo. To se naredi s pomočjo z-score. Za opazovanje je treba izračunati Z-rezultat. Formula za izračun z-rezultata je
Z = (X- µ) / α / √n
Kje
- Z = Z-ocena opazovanj
- µ = srednja vrednost opazovanj
- α = standardni odklon
- n = velikost vzorca
Pojasnilo
Izrek o osrednji meji pravi, da se bodo naključni vzorci naključne spremenljivke populacije s katero koli porazdelitvijo približali običajni porazdelitvi verjetnosti, ko se velikost vzorca poveča. Izrek o osrednji meji predpostavlja, da bo, ko bo velikost vzorca v populaciji presegla 30, povprečje vzorca, ki je povprečje vseh opazovanj za vzorec, skoraj enako povprečju za populacijo. Tudi standardni odklon vzorca, ko velikost vzorca preseže 30, bo enak standardnemu odklonu populacije. Ker je vzorec naključno izbran iz celotne populacije in je velikost vzorca več kot 30, potem pomaga pri testiranju hipotez in pri izdelavi intervala zaupanja za testiranje hipotez.
Primeri formule teorema osrednje meje (z Excelovo predlogo)
Primer # 1
Pojmo koncept normalne porazdelitve s pomočjo primera. Povprečni donos vzajemnega sklada je 12%, standardni odmik od povprečnega donosa naložbe vzajemnega sklada pa 18%. Če predpostavimo, da je razdelitev donosa običajno porazdeljena, si razložimo razdelitev donosa pri naložbi vzajemnega sklada.
Glede na to,
- Povprečni donos naložbe bo 12%
- Standardni odmik bo 18%
Torej, če želimo ugotoviti donos za 95% interval zaupanja, ga lahko ugotovimo z reševanjem enačbe kot
- Zgornji razpon = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Spodnji razpon = 12 - 1,96 (18) = -23%
Rezultat pomeni, da bo donosnost vzajemnega sklada v 95% primerih znašala med 47% in -23%. V tem primeru bomo z velikostjo vzorca, ki je vrnitev naključnega vzorca z več kot 30 opazovanji donosa, dobili rezultat za vračanje prebivalstva vzajemnega sklada, saj bo porazdelitev vzorca običajno porazdeljena.
2. primer
Nadaljujemo z istim primerom, določimo, kakšen bo rezultat za 90% interval zaupanja
Glede na to,
- Povprečni donos naložbe bo 12%
- Standardni odmik bo 18%
Torej, če želimo ugotoviti donos za interval zaupanja 90%, ga lahko ugotovimo z reševanjem enačbe kot
- Zgornji obseg = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Spodnji razpon = 12 - 1,65 (18) = -18%
Rezultat pomeni, da bo donosnost vzajemnega sklada v 90% primerih znašala med 42% in -18%.
3. primer
Nadaljujemo z istim primerom, določimo, kakšen bo rezultat za 99-odstotni interval zaupanja
Glede na to,
- Povprečni donos naložbe bo 12%
- Standardni odmik bo 18%
Torej, če želimo ugotoviti donos za interval zaupanja 90%, ga lahko ugotovimo z reševanjem enačbe kot
- Zgornji obseg = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Spodnji razpon = 12 - 2,58 (18) = -34%
Rezultat pomeni, da bo donosnost vzajemnega sklada v 99% primerih znašala med 58% in -34%.
Ustreznost in uporaba
Izrek o centralni meji je izredno koristen, saj raziskovalcu omogoča, da s pomočjo vzorca napove povprečje in standardni odklon celotne populacije. Ker je vzorec naključno izbran iz celotne populacije in je velikost vzorca večja od 30, se bo vsaka naključna velikost vzorca, vzeta iz populacije, približala običajni porazdelitvi, kar bo pomagalo pri testiranju hipotez in oblikovanju intervala zaupanja za preverjanje hipotez. Na podlagi izreka o centralni meji lahko raziskovalec izbere kateri koli naključni vzorec iz celotne populacije in ko je velikost vzorca večja od 30,potem lahko s pomočjo vzorca napove populacijo, saj bo vzorec sledil normalni porazdelitvi, pa tudi povprečje in standardni odklon vzorca bo enak povprečju in standardnemu odklonu populacije.
